斐波那契数列
斐波那契数列是这样的数列：
0、1、1、2、3、5, 8、13、21、34 ……
下一项是上两项的和。
2 是上两项的和（1+1）
3 是上两项的和（1+2）、
5 是（2+3）、
依此类推！
例子：下一项是 21+34 = 55
就是这么简单！
长一点的斐波那契数列：
0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368、75025、121393、196418、317811 ……
你可以计算后面几项吗？
做个螺旋
用这些数作为边长来画正方形，就得到漂亮的螺旋图象：
留意正方形整齐地形成螺旋形。
例如，5 和 8 是 13、8 和 13 是 21 等等。
规律
斐波那契数列可以用一个 "规律" 来表达（见数列与级数）。
我们先把项从 0 开始排列：
n =
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
……
xn =
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
……
第 6 项的符号是 x6 （等于 8）。
例子：第8项是
第7项加第6项：
x8 = x7 + x6
所以可以这样写成规律：
规律是 xn = xn-1 + xn-2
其中：
xn 是第 "n" 项
xn-1 是上一项（n-1）
xn-2 是再上一项（n-2）
例子：这样计算第 9 项：
x9
= x9-1 + x9-2
= x8 + x7
= 21 + 13
= 34
黄金比例
奇妙的事：两个连续的斐波那契数的比非常接近黄金比例，"φ"，大约是 1.618034……
两个连续的斐波那契数越大，它们的比就越接近黄金比例：
A
B
B / A
2
3
1.5
3
5
1.666666666……
5
8
1.6
8
13
1.625
……
……
……
144
233
1.618055556……
233
377
1.618025751……
……
……
……
注意：我们可以随机选两个正整数做为数列的开始，这个比例也是成立的。例如我们可以用 192 和 16 来开始建立数列：192、16、208、224、432、656、1088、1744、2832、4576、7408、11984、19392、31376 ……：
A
B
B / A
192
16
0.08333333……
16
208
13
208
224
1.07692308……
224
432
1.92857143……
……
……
……
7408
11984
1.61771058……
11984
19392
1.61815754……
……
……
……
虽然需要多几项才能得到好的比，但这显示了不一定要斐波那契数列才有这个属性！
用黄金比例来计算斐波那契数
更奇妙的是，我们可以用黄金比例来计算任何斐波那契数：
答案一定是个正整数，刚好等于上两项的和。
例子：
用计算器来算（黄金比例只输入到六位小数），返回的答案是 8.00000033。更精确计算的答案会更接近 8。
自己去试试看！
趣事
这是斐波那契数列：
n =
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
……
xn =
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
……
这是个有趣的规律：
留意 x3 = 2。每 3个数是 2 的倍数（2、8、34、144、610 ……）
留意 x4 = 3。每 4个数是 3 的倍数（3、21、144 ……）
留意 x5 = 5。每 5个数是 5 的倍数（5, 55, 610 ……）
依此类推。（每 n个数是 xn 的倍数）。
1/89 = 0.011235955056179775……
留意头几个小数位（0、1、1、2、3、5）就是斐波那契数列。
其实所有的小数位都是，不过多于一个数位的数（13、21 等等）是重叠的，像这样：
0.0
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
0.000000021
…… 等等 ……
0.011235955056179775…… = 1/89
小于零
数列在零以下也一样：
n =
……
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
...
xn =
……
-8
5
-3
2
-1
1
0
1
1
2
3
5
8
……
（自己来算算，看看每项是不是上两项的和！）
在零以下，斐波那契数和在零以上一样，不过正负号跟随+-+- 的规律。公式可以这样写：
x−n = (−1)n+1 xn
就是说：第 "-n" 项等于 (−1)n+1 乘以第 "n" 项，(−1)n+1 的规律就是 1、-1、1、-1 ……
历史
斐波那契不是第一个发现这数列的人，很久以前印度已经知道这个数列了！
斐波那契斐波那契的真名是比萨的列奧纳多，公元 1170 到 1250 活于意大利。
"斐波那契" 是别名，意思是 "波那契的儿子"。
除了斐波那契数列以外，他也在欧洲广泛推广使用阿拉伯数字（就像我们想在用的数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）来代替罗马数字（I、II、III、IV、V 等等）。这样以后写数字就简单多了！谢谢，列奧纳多。
斐波那契日
十一月二十三日是斐波那契日，因为 "1, 1, 2, 3" 是斐波那契数列的头几个数。在十一月二十三日记得告诉你的朋友！
黄金比例
大自然、黄金比例和斐波那契数
常见数型